Pafundesia

Cfare eshte pafundesia?



Duke menduar për pafundësinë, gjëja e parë që të vjen ndërmend është universi. Yjet, galaktikat, objektet miliarda vjet dritë larg.

Po universi është vërtet i pafund? Përgjigjja e kësaj pyetjeje nuk dihet ende me saktësi. “Ajo që mund të themi është se rajoni i kuptueshëm i universit te ne është konsumuar.

Kjo për arsye se universi ka një moshë të përcaktuar, rreth 13,7 miliardë dhe drita udhëton me një shpejtësi të saktë. Asnjë informacion nuk mund të arrijë një distancë aq të madhe që kur ka lindur universi”, thekson një docent astronomie dhe astrofizike nga Universiteti i Studimeve të Milanos.

Universi në tela

Pohimi i mësipërm vlen vetëm për atë që shkencëtarët e quajnë “universi i vrojtueshëm”. “Cilado që të jetë gjeometria globale e hapësirës, përtej horizontit që ne mund shohim, asnjëherë nuk kemi mundur të depërtojmë, por dimë se natyra e fundme ose e pafundme e hapësirës varet nga dendësia e përgjithshme e lëndës dhe energjia e universit”, shton docenti.

Me fjalë të tjera, nëse kjo dendësi është mjaft e madhe, universi është i fundmë, ndryshe është i pafund. Fatkeqësisht vlera e përcaktuar nga shkencëtarët qëndron në mes, ndaj për momentin nuk ekziston një përgjigje e saktë. Me saktësi, dimë se universi është i pakufizuar, në kuptimin që nuk ka një kufi të jashtëm, siç ka për shembull topi i futbollit.

Sipërfaqe në 3D

Një top futbolli është një objekt relativisht i vogël, por me përmasa të sakta (ai i rregullti duhet të ketë një perimetër nga 68-70 cm). Por provoni t’ia shpjegoni këtë një milingone: a do të ecte përjetësisht mbi sipërfaqen e tij, duke mos arritur gjëkundi?

Po sikur topi të ishte gjigant? Në fakt, sipërfaqja rrethore nuk ka kufi, në kuptimin që nuk është e pafundme, por mund të përshkohet pafundësisht. Edhe universi është njësoj si sipërfaqja e një rrethi: nëse një astronaut do të udhëtonte gjithmonë në të njëjtin drejtim, nuk do të arrinte kurrë në kufirin tjetër, njësoj si milingona. Por këtu ka vetëm një ndryshim: milingona lëviz brenda një sipërfaqeje, ndërsa astronauti udhëton brenda një vëllimi.

Shuma të pabesueshme

Që nga lashtësia, njeriu është përballur me konceptin e së pafundmes, së pakapshmes dhe dykuptimësisë, sepse shkon kundër rrjedhës normale. Një shembull? Të imagjinojmë shumën 1+ një e dyta (1/2)+ një e katërta (1/4)+ një e teta (1/8) dhe kështu me radhë deri në pafundësi. Dihet se sa më larg të shkosh, aq më shumë zvogëlohen termat (1/4 është gjysma e 1/2; 1/8 është gjysma e 1/4).

Megjithatë gjithmonë bëhet fjalë për një shumë që shkon drejt infinitit dhe rrjedhimisht do të mendosh se rezultati do të jetë i pafund.

Por në fakt nuk është, sepse rezultati i kësaj shume është 2. “Kjo lloj shume nga matematikanët quhet ‘varg numerik’”, tregon ideatori dhe presidenti i “Kopshtit të Arkimedit”, një muze matematike me qendër në Firence.

Fiton gjithmonë ajo

“Pikërisht në këtë lloj shume janë bazuar edhe paradokset e famshme si ai i Akilit dhe breshkës, propozuar nga filozofi Zenoni i Eleas, në shek. V para Krishtit”, shton ai. Në thelb, paradoksi thotë që edhe pse Akili është “më i shpejtë”, nuk do ta arrijë kurrë kafshën e ngadaltë.

Sipas Zenonit, arsyeja është e thjeshtë: le të supozojmë se breshka është një metër në avantazh. Për ta përshkuar atë distancë, Akilit do t’i duhet njëfarë kohe, edhe sikur ajo të jetë e shkurtër. Por në të njëjtën kohë breshka do të jetë spostuar më andej. Sërish Akili do ta përshkojë më vonë këtë distancë të dytë, ndërkohë edhe breshka do të lëvizë sërish më tutje, e kështu me radhë deri në infinit.

Megjithatë, eksperienca na mëson se Akili e kap breshkën me një këmbë. Në fakt, arsyetimi i Zenonit dukej i saktë: problemi është se edhe ne, njësoj si grekët e lashtë, e kemi të vështirë ta mendojmë se një shumë mund të jetë e pafundme dhe njëkohësisht e kufizuar. Por ja që është edhe kështu!

Më pak. Apo jo?

Kur arsyetojmë për numrat e pafundmë gjëja më paradoksale është se në të njëjtën kohë mund të jenë të njëjtë dhe të ndryshëm. Nuk ka asgjë për t’u habitur që Georg Cantor, matematikani i cili studioi i pari këtë koncept, i kaloi ditët e tij të fundit në një spital psikiatrik, ndërkohë që bashkëkohori Leopold Kronecker i përbuzte zbulimet e tij duke i quajtur “pa asnjë kuptim”.

Le të marrim për shembull numrat që mësojmë t’i njohim kur jemi fëmijë: 1, 2, 3, 4, 5, 6… Këto janë quajtur numra natyrorë. Pastaj marrim ato që janë katrori i një numri të plotë: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49… Grupi i dytë është natyrisht më i vogël, pavarësisht se të dy përmbajnë të njëjtën sasi (të pafundme) elementesh. Po jua shpjegojmë…

Një këtu, një atje

Merrni çfarëdo lloj numri të grupit të parë, për shembull 27: në grupin e parë është vetëm një numër që mund të çiftohet me të, 729 (që është katrori i 27); merrni tani një numër të çfarëdoshëm të grupit të dytë, për shembull 49: në grupin e parë është vetëm një numër që mund të çiftohet me të, 7 (që është rrënja katrore e 49).

Me fjalë të tjera, secilit numër të grupit të parë i korrespondon vetëm një numër i grupit të dytë dhe anasjelltas. “Ky përshkrim i sapo bërë njihet si paradoksi i katrorëve të Galileos. U përshkrua nga Galileo Galilei në librin ‘Fjalime dhe demonstrime matematike rreth dy shkencave të reja’, i publikuar në vitin 1638”, thekson docenti.

Morali: kur kemi të bëjmë me grupe të pafundme, konceptet “më i vogël”, “i barabartë” dhe “më i madh” nuk funksionon.

Pafund, por të vegjël

Siç e theksuam edhe më lart, ky koncept u bë i qartë vetëm në vitet 1800 falë gjermanit Georg Cantor, i cili u kritikua në jetë, por sot konsiderohet një pararendës. “Cantor ishte i pari që e kuptoi se numrat e pafundmë nuk janë të gjithë të njëjtë. Disa janë më të pafund se të tjerët”, shpjegon docenti. Për shembull folëm për numrat natyrorë: 1, 2, 3, 4, 5, 6…

Janë infinitë, sepse për çdo numër natyror, sado i madh të jetë, mund të gjendet gjithmonë një më i madh (për shembull duke i shtuar 1). Gjithsesi Cantor tregoi se kjo lloj pafundësie është “më e vogla” e mundshme. Gjithashtu ai hodhi hipoteza se pafundësia që vjen menjëherë pas është ajo që përfshin të gjitha pikat e një vije të drejtë. Infinitin e llojit të parë e quajti “i numërueshëm”, ndërsa infinitin e llojit të dytë “i vazhdueshëm”.

Engjëj dhe gjilpëra

Duke imagjinuar për pikat e pafundme që mbushin edhe segmentin më të vogël gjeometrik, natyrshëm mendon për një debat të ngjashëm që bëri për vete shpirtrat në mesjetë: sa engjëj mund të vallëzojnë mbi majën e gjilpërës?

Sot kjo pyetje citohet shpesh për të treguar absurditetin e disa debateve filozofike, por në të vërtetë tregon sesi njeriu ka pyetur gjithnjë për pafundësinë. Por ka një ndryshim, dikur këto pyetje ishin ekskluzivisht fetare, sot janë edhe matematike.

Duke u kthyer te kjo lëndë e fundit, përfundimi i saj është se nuk ekziston vetëm një lloj infiniti, por ka shumë edhe pse simboli i tyre mbetet gjithmonë i njëjtë: një tetë e shtrirë ¥.

Frymëzim artistik

Pafundësia nuk është vetëm logjikë, shkencë dhe fe. Është edhe një koncept që nxit fantazinë e shkrimtarëve dhe artistëve. Pafundësia është e pranishme në mënyrë të rëndësishme te veprat e Maurits Cornelis Escher (1898-1972), gdhendës dhe litograf holandez që për shumë vepra të tij është frymëzuar nga matematika.

Në skicimet e tij ndërthuren objektet që përsëriten, figura gjeometrike të pamundura, shkallë pafund që të riçojnë te pika e nisjes. Por shembujt artistikë mund të jenë të shumtë. Duke menduar për pafundësinë më vjen ndërmend një tablo e piktorit Mark Rothko, një amerikan me origjinë ruse. Tabloja titullohet ‘1957 #20’ dhe është pikturuar në vitin 1957: valëzimet e ngjyrave të Rothko-s shkojnë vërtet drejt pafundësisë.

Artisti ka ditur të paraqesë faktin se sa e madhe është pafundësia pas sipërfaqes së pikturës dhe pas asaj që ne nuk mund të shohim më.

Megjithatë, duke menduar për pafundësinë, gjëja e parë që na vjen në mendje është universi, yjet, galaktikat, objektet qiellore miliarda vite dritë larg nesh, e kështu me radhë deri në pafundësi…

Simboli? Një gjarpër, ose…

Simboli i infinitit në matematikë është numri tetë i shtrirë ¥. Për herë të parë u përdor nga matematikani anglez John Wallis në vitin 1655. Origjina e numrit nuk është fort e qartë. Sipas disave, vjen nga simboli i c-ce përballë njëra-tjetrës të ndara me një vizë në mes, me të cilin romakët e vjetër tregonin numrin 1000.

Edhe shkronja greke

Sipas disa të tjerëve, mund të jetë një përpunim i shkronjës greke të vogël omega “w”, që duke qenë shkronja e fundit e alfabetit grek mund të tregojë gjithashtu fundin simbolik të numrave. Gjithashtu mund të ketë edhe një kuptim tjetër, atë të gjarprit rrotullues alkimik që ha bishtin e tij. Gjithsesi simboli i infinitit është një vijë e lakuar që mund të përshkohet në mënyrë të vazhdueshme, pafund herë, mbi të.

Në fe, natyra e pafundme e Zotit e tejkalon njeriun

Ekzistojnë shuma që kanë pafund numra, por japin një rezultat të saktë
Pafundësia nuk është vetëm logjikë, shkencë dhe fe. Është edhe një koncept që nxit fantazinë e shkrimtarëve dhe artistëve

Përfundimi? Infinit…

Në matematikë, tashmë simboli i infinitit është aq i njohur saqë mund ta gjesh të përdorur edhe në një formulë të thjeshtë

Shumë-shumë yje…

Sa i madh është universi? Për shkencëtarët ndoshta mund të ketë fund, por sigurisht është i pakufizuar. Gjithsesi vetëm në galaktikën tonë (Rruga e Qumështit e parë nga Toka) ka miliarda yje

Për simbolin mendoj unë John Wallis (1616-1703) futi i pari simbolin e infinitit, tetën e shtrirë

Gjithçka nis këtu

Për njerëzit që besojnë, simboli i pafundësisë është Zoti. Në këtë afresk është paraqitur nga Mikelanxhelo në krijimin e yjeve dhe bimët

Pafundësia ose e pakufishmja (lat. infinitas) është cilësia e asaj që nuk ka kufi në numër ose në madhësi. Ajo mund të zhvillohet vetëm në mënyrë abstrakte në përfytyrimin tonë dhe lidhet me trupat, që s´kanë kufinj kohor ose hapësinor. Shënohet zakonisht me shënjën \infty. Pafundësia lidhet me disa koncepte që u ngritën në teologji, filozofi, matematike dhe jetën e përditshme. Përdorimi i fjalës në gjuhën popullore nuk pajtohet me kuptimet teknike të emërtimit.

Në teologji, p.sh. në veprat e teologëve të tillë si Duns Scotus, natyra e pakufishme e Perëndisë ka të bëjë me kuptimin e të qënit pa detyrime apo shtërngesa, me tepër sesa kuptimi i të qënit pakufi në sasi. Në filozofi, pafundësia mund t´i mvishet hapsirës dhe kohës, si p.sh. në antinominë e Imanuel Kantit. Si në teologji ashtu edhe në filozofi, pafundësia është shqyrtuar në artikuj të tillë si e fundmja, absolutja, Perëndia, dhe paradokset e Zenonit.

Në matematikë, pafundësia (∞) lidhet me çështjet e temave të artikujve si limiti, numri alef, klasa, teoria e bashkësive, absoluti i pafundëm, numrërori i madh themelor, pafundësia absolute, numri mbireal, etj.Dokumenti më i vjetër i njohur mbi pafundësinë vjen nga India e lashtë në Jajur Veda (rr. 1200– 900 p.e.s) që pohon se " nëse ju i hiqni apo i shtoni një pjesë pafundësisë, çfarë mbetet është përsëri pafundësi".

Grekët e vjetër e vunë re praninë e pafundësisë diku rreth viteve 400 dhe 500 p.e.s. Vetë idea me pafundësinë ishte kaq e pakapshme dhe ngacmuese ndaj përvojës dhe intuitës njerëzore saqë i trulloste matematikanët dhe filozofët e lashtë. Por ky zbulim do të sillte më vonë pasoja në diturinë, matematikën, filozofinë dhe fenë deri në ditët tona.

Çifuti Jackie Jakubowski që është redaktor i revistës "Judisk Krönika" (Kronika çifute) në Suedi dhe që ka botuar disa libra, tregon se si idea mbi pafundësinë doli në shesh përgjatë arsyetimesh matematikore të filozofit grek Zenon nga Elea (485-435 p.e.s.). Për Zenonin koncepti mbi pafundësinë është i tmerrshëm dhe nuk duhej përzierë në arsyetime matematikore pasi bënte lëmsh sistemet e mirëorganizuara që njiheshin në atë kohë si ç´ishte ai i Pythagorës.
Në mesjetë idea mbi pafundësinë do të kthehej përsëri por jo si koncept matematikor por fetar.
Kabalistët çifutë e përshkruan Hyjninë si edhe "Gjithçka" edhe "Asgjë" - me shprehjen çifute ein sof e cila qëndron për pafundësinë. Këta poashtu si edhe sekti i Pythagorës dikur i veshën numrave veti hyjnore.
Pika nga e cila niseshin kabalistët për të shpjeguar krijimin e botës ishte pyetja: "Si mundet bota - me fund, ashtu si e kuptonin ata natyrën e saj - të ekgzistojë kur qenia e pafundtë e Hyjnisë, ein sof-i gjindet kudo ?
Përgjigja që ata i jipnin kësaj pyetje ishte se që gjithçkaja që e përbën botën të mund të materializohej duhej që Krijuesi "të kufizonte vetveten" (tzimtzum), "të jipte hapësirë" diçkaje jashtë sferës hyjnore.
Edhe mendimet e hershme kristiane u ndeshën që herët me pafundësinë.
Prifti Augustinus (354-430) ishte krejt i sigurtë që pafundësia ishte shenja dalluese e Hyjnisë. Ai shkroi: "A nuk do të ishte Hyjnia në gjendje të njohë të gjithë numrat meqë numri i tyre është i pafundtë ? A do të ishte dituria e Zotit e thelluar brenda një numri të veçantë dhe të mbaronte aty ? Askush nuk do të ishte kaq i marrë sa të pranonte këtë gjë".

Bërja të vetëdijshmën mbi qenien e pafundësisë do të shkaktonte dalëngadalë pasoja të zgjeruara për kozmologjinë, kuptimin e krijimit të Gjithësisë dhe krijimit të saj.
I pari që hodhi idenë mbi një Gjithësi të pafundtë ishte teologu gjerman Nicolaus Cusacus (1401-). Ajo ishte e veçantë për kohën e tij në të cilën kuptimi sundues mbi botën ishte ai aristotelo-ptolemik sipas të cilit planeti ynë, i rrethuar nga sfera planetesh dhe yjesh, gjendej në qendër të një Gjithësie me fund.
Pasardhësi i Cusacus ishte italiani Giordano Bruno (1548-1600) i cili u dogj nga ikuizicioni fetar për shkak të ideve të tija mbi pafundësinë, gjithësinë, hapësirën dhe kohën, dhe shpirtin.
Galileo Galilei e nisi aty ku grekërit e vjetër e lanë. Në traktatin e tij "Mbi dy dijetarë të rinj", të shkruar në formën e një dialogu midis të urtit Salviati dhe kokëboshit Simplicius, Galileo trajton anë të ndryshme të pafundësisë. Ai shpjegon sesi ka po aq numra në katrorë sa ka edhe vetë numra. Në të dyja rastet bëhet fjalë mbi një rrjeshtim të pafundtë numrash. Kështu pra një sasi e pafundtë (S) mund të ketë brenda saj një pjesë që është po aq e "madhe" sa edhe vetë S-ja.


Pafundësia e shprehur në formën e figurave të pamundura në litografinë e Mauritz Cornelius Escher me titull "Ngjitje dhe zbritje". Cilët prej burrave janë duke hypur dhe cilët po zbresin shkallët ?

Rrëfimi mbi "Hotelin e pafundtë" i formuluar nga fillimi i viteve 1900 nga matematikani gjerman David Hilbert e tregon më qartë këtë paradoks.
Hoteli ka një numër të pafundtë dhomash, por kur në një mbrëmje vonë vjen një mysafir për të fjetur i thonë se të gjitha dhomat janë të zëna.
Si ka mundësi ? - pyet ai sportelistin dhe pastaj sugjeron një zgjidhje: "Çoje mysafirin e dhomës 1 tek dhoma 2, atë të dhomës 2 tek dhoma 3, atë të dhomës 3 tek dhoma 4, atë të dhomës 4 tek dhoma 5 ... e kështu me rradhë në pafundësi. Unë vetë po marr dhomën e lirë me numrin 1". Në të vërtetë në këtë mënyrë mund të lirohet një numër i pafundtë dhomash në këtë hotel të pafundtë që i kishte krejt dhomat të zëna.

Kuptimi matematikor i konceptit pafundësi bien ndesh me mënyrën tonë të arsyetimit racional.
Njëri prej matematikanëve më të mëdhenj të kohës sonë që gjithashtu trajtoi konceptin e pafundësisë ishte George Cantor. Sipas tij nuk ka vetëm një pafundësi por shumë të tilla. Ai thonte gjithashtu, si edhe arriti ta provojë me anë llogaritjesh të ndërlikuara, se sasitë e pafundshme nuk është e thënë të jenë të barabarta. Atëherë a mund të mbledhim të gjitha sasitë e pafundshme për të përftuar një sasi që do të jetë pafundësia "më e madhe", "absolute", shuma e të gjitha sasive ? Jo, përgjigjet Cantor-i, është e pamundur të tregosh me metoda racionale praninë e ndonjë pafundësie "absolute", sepse një pafundësi e tillë do të ishte e përkufizuar brenda vetvetes dhe duhej të përfshinte edhe vetë veten e saj.
Më larg se kaq nuk mund të shkohet duke arsyetuar racionlisht.
Ndoshta Cantor e kuptoi se ai i ishte afruar gjëagjëzës së pafundësisë. Për të pafundësia ishte fushë e Hyjnisë.
Që njeriu kurrë nuk do të arrijë ta kapë kuptimin e thellë të pafundësisë e kishin kuptuar në mënyrë intuitive Kabalistët e moshuar. Ata kishin kuptuar edhe rreziqet që sillte hyrja thellë në këtë fushë të rrezikshme - personat nën 40 vjeç e kishin të ndaluar të studionin Kabala; pamaturia rrezikonte të çonte kureshtarin drejt luajtjes mendësh.

Georg Cantor gjithashtu shkalloi në vitin 1884 ndërsa po studionte mbi pafundësinë dhe mbeti i shtruar në spitalin psikiatrik deri sa vdiq në janar 1918.

"Pafundësia nuk është ndonjë pjesë e një sistemi të vërtetë numrash por një koncept, një mënyrë të menduari. Është kur gjithçka sillet në qark" thotë matematikani izraelian Eli Maor, "një përfytyrim, një përthithje, një hamendje".